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正定矩阵

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       在线性代数里,正定矩阵 (英文:positive definite matrix) 有时会简称为正定阵。在双线性代数中,正定矩阵的性质类似复数中的正实数。与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式(复域中则对应埃尔米特正定双线性形式)。

广义定义

设M是n阶方阵,如果对任何非零向量z,都有 z'Mz > 0,其中z' 表示z的转置,就称M正定矩阵。例如:B为n阶矩阵,E为单位矩阵,a为正实数。aE+B在a充分大时,aE+B为正定矩阵。(B必须为对称阵)

狭义定义

一个n阶的实对称矩阵M正定的当且仅当对于所有的非零实系数向量z,都有z’Mz> 0。其中z’表示z的转置。

2特征及性质

正定矩阵在合同变换下可化为标准型, 即单位矩阵。
所有特征值大于零的对称矩阵(或厄米矩阵)也是正定矩阵。
判定定理1:对称阵A为正定的充分必要条件是:A的特征值全为正。
判定定理2:对称阵A为正定的充分必要条件是:A的各阶顺序主子式都为正。
判定定理3:任意阵A为正定的充分必要条件是:A合同于单位阵。
正定矩阵的性质:
1.正定矩阵一定是非奇异的。非奇异矩阵的定义:若n阶矩阵A的行列式不为零,即 |A|≠0。
2.正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵。
3.若A为n阶对称正定矩阵,则存在唯一的主对角线元素都是正数的下三角阵L,使得A=L*L′,此分解式称为 正定矩阵的乔列斯基(Cholesky)分解。
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